펠의 방정식(Pellian equatiom) - 1

정수론에서 제곱식에 대한 부정방정식이 많이 나오는데, 이것을 일반화한 방정식이 펠의 방정식입니다.

 

펠의 방정식은 다음과 같이 표시할 수 있습니다.

 

 

 

위와 같은 부정방정식은 영국의 수학자인 John Pell (1 March 1611 – 12 December 1685)의 이름을 따서 붙여졌지만, 사실 그 이유에 대해서는 자세하게 알려진 바가 없습니다.  (여러가지 이야기가 있기는 하지만요.)  디오판투스 방정식의 일부 형태이고요.  프랑스 수학자 페르마에 의해서 오히려 더 먼저 소개되었다고 합니다.

 

이에 대한 해는 영국의 수학자 윌리엄 브롱커가 처음 발견했고, 이에 대한 증명은 라그랑쥬에 의해서 증명되었습니다.  오일러가 브롱커와 펠을 혼동해서 그의 저서에 펠의 방정식이라고 한 것이 위 방정식이 펠의 방정식이라고 이름 붙여지게 되었다고도 합니다.  (일반적으로 d는 양수에 N은 1일 때, 펠 방정식이라고 합니다.)

 

이 함수를 그래프로 그려본다면, d가 양수인지 아니면 음수인지에 따라서 그래프 모양은 달라지게 됩니다.  d가 음수라고 한다면, 타원형 그래프가 얻어집니다.  d가 양수라고 한다면, 쌍곡석이 되어서, 무한한 선을 가지게 됩니다.

 

 

 

왼쪽 그림과 같이 d가 음수라면, 나올 수 있는 해는 한정됩니다,  그에 비해서 오른쪽 그림과 같이 d가 양수라면, 나올 수 있는 해는 무한할 수도 있습니다.

 

d가 제곱수라면, 펠 방정식은 인수분해가 됩니다.

 

 

 

과 같이 인수분해가 되고, 실제 해는 N과 a값에 따라서 유한개 존재할 수도 있고, 또는 없을 수도 있습니다.

 

그런데, d가 제곱수가 아니라면, 이 문제는 N에 따라서 무한한 해를 가질 수 있습니다.  특히 N이 1이라고 무한한 해를 가지게 됩니다.

 

펠 방정식에서 N이 제곱수라고 하면, 자명한 해를 가지게 됩니다.

 

 

N이 1이라고 하면, x = 1, y = 0 또는 x = -1, y = 0 이라는 자명한 해를 가지게 됩니다.

이 자명한 해가 아닌 다른 해는 어떻게 되고, 일반해를 구할 수 있을까 하는 것이 펠 방정식 해법의 첫걸음입니다.  그리고 (a, b)가 해라면, (-a, b), (a, -b), (a, -b) 역시 해인 것이 자명하기 때문에, 자명하지 않은 해, 즉, x와 y가 모두 양수인 해를 찾습니다.