귀납법 증명

2011.09.06.

 

질문)

\[ 1 + { 1 \over 2^2} + {1 \over 3^2} + … + {1 \over n^2} \lt 2 – {1 \over n} \]

모든 자연수 \(n\)에 대하여 성립함을 귀납법을 이용하여 보여라. (단 \(n\)은 2 이상)

답변)

 

귀납법으로 증명할 때에는 첫번째로는 초기 조건이 성립하는지 보여야 합니다. 여기서는 초기 조건이 \(n = 2\)가 되겠죠. 다음으로는 귀납적 작업을 합니다.

\(i)\) \(n = 2\)일 때,

\[ { 1 + {1 \over 2^2} } = {5 \over 4} \lt { 2 – {1 \over 2} } \]

으로 준 식이 성립한다.

\(ii\) \(n=k\)에서 준 식이 성립한다고 하면,

\(iii)\) \(n = k+1\)일 때,

\[ {1 + {1 \over 2^2} + {1 \over 3^2} + … + {1 \over k^2} + {1 \over (k+1)^2} } \lt { 1 – {1 \over k} + {1 \over (k+1)^2} } \lt { 2 –{ 1 \over k} + {1 \over {k(k+1)}} } = { 2 – { k \over {k(k+1)} } } = { 2 – { 1 \over {k+1}} } \]

으로 귀납적으로 성립함을 보일 수 있다.