반응형 펠의 방정식3 펠의 방정식(Pell's Equation) - 3 연분수 전개로 당연한 식이지만, 다음과 같은 형식의 식을 만들었습니다. \[ \sqrt{d} = \frac{r+s\sqrt{d}}{p+q\sqrt{d}} \] 첫번째로는 과연 저 형식의 식과 펠의 방정식은 무슨 관계인 가입니다. d = 7일 때, p = 1, q = 1, r = 7, s = 1라는 것도 저 식을 만족합니다. 왜 하필이면, 복잡한 연분수 계산을 통해서 저 수를 얻어야 하는 것입니다. 그리고 펠의 방정식과 무슨 관계인 가 입니다. 위 식에서 분모를 유리화하면 다음과 같은 식을 얻습니다. 분모를 유리화하면 분모는 정수가 됩니다. 좌변과 우변이 같게 되기 위해서는 분자는 제곱근만 남는 것이 마땅합니다. ps-qr = 1이 된다면, 분모도 1이 되어야 합니다. 즉, ps-qr이 1이 된다면, 분모.. 2015. 5. 23. 펠의 방정식(Pellian Equation) - 2 펠의 방정식의 일반해를 구하기 위해서는 좀 복잡한 정수론을 이용해야 합니다. 정수론 책을 읽다보면, 이 부분에서 머리가 휘청거리는 것을 느끼게 되죠. 그래서 저는 저 나름대로의 방식으로 풀어볼까 합니다. (이미 답은 알고 있으니, 그것을 이용합니다.) 펠의 방정식 해법은 연분수 전개와 밀접한 연관이 있습니다. 펠의 방정식을 풀기 전에 무한 소수를 생각하도록 하죠. 만약 1/7 을 소수로 표현한다면 어떻게 될까요? 0.14285714285714.... 로 무한소수를 얻게 됩니다. 그런데, 일정 구간의 숫자가 반복됨을 알 수 있습니다. 142857이란 숫자가 반복됩니다. 이는 나눗셈에서 나머지가 같아지는 부분이 생기는 그 다음부터는 계속 순환이 발생한다는 당연한 이치 때문입니다. 이러한 무한소수를 표현하기 .. 2015. 5. 23. 펠의 방정식(Pellian equatiom) - 1 정수론에서 제곱식에 대한 부정방정식이 많이 나오는데, 이것을 일반화한 방정식이 펠의 방정식입니다. 펠의 방정식은 다음과 같이 표시할 수 있습니다. 위와 같은 부정방정식은 영국의 수학자인 John Pell (1 March 1611 – 12 December 1685)의 이름을 따서 붙여졌지만, 사실 그 이유에 대해서는 자세하게 알려진 바가 없습니다. (여러가지 이야기가 있기는 하지만요.) 디오판투스 방정식의 일부 형태이고요. 프랑스 수학자 페르마에 의해서 오히려 더 먼저 소개되었다고 합니다. 이에 대한 해는 영국의 수학자 윌리엄 브롱커가 처음 발견했고, 이에 대한 증명은 라그랑쥬에 의해서 증명되었습니다. 오일러가 브롱커와 펠을 혼동해서 그의 저서에 펠의 방정식이라고 한 것이 위 방정식이 펠의 방정식이라고 이.. 2015. 5. 21. 이전 1 다음 728x90
