펠의 방정식(Pell's Equation) - 3

연분수 전개로 당연한 식이지만, 다음과 같은 형식의 식을 만들었습니다.

 

 

\[ \sqrt{d} = \frac{r+s\sqrt{d}}{p+q\sqrt{d}} \]

 

 

첫번째로는 과연 저 형식의 식과 펠의 방정식은 무슨 관계인 가입니다.

 

d = 7일 때, p = 1, q = 1, r = 7, s = 1라는 것도 저 식을 만족합니다.  왜 하필이면, 복잡한 연분수 계산을 통해서 저 수를 얻어야 하는 것입니다.  그리고 펠의 방정식과 무슨 관계인 가 입니다.

 

위 식에서 분모를 유리화하면 다음과 같은 식을 얻습니다.

 

 

분모를 유리화하면 분모는 정수가 됩니다.  좌변과 우변이 같게 되기 위해서는 분자는 제곱근만 남는 것이 마땅합니다.  ps-qr = 1이 된다면, 분모도 1이 되어야 합니다.  즉, ps-qr이 1이 된다면, 분모도 1이 되어서 바로 펠의 방정식을 만족하게 됩니다.

 

 

우리가 연분수로부터 얻은 위 식을 연분수의 점화식을 이용해서 알아보도록 하겠습니다.

 

 

 

 

귀납법적으로 보면, 연분수 전개에서 항상 ps-qr = -1 또는 1임을 알 수 있습니다.  즉, 펠 방정식은 연분수 전개의 주기 e가 짝수라면, 1을, 홀수라면 -1을 만든다는 것을 알 수 있죠.

 

그래서 N이 1인 경우에 다음과 같은 해를 얻을 수 있습니다.

1) 연분수의 주기가 짝수이면, 

이 하나의 해이다.

2) 연분수의 주기가 홀수라면, 

이 하나의 해이다.

 

또한 

이 해라면, 

을 만족하는 모든 (x, y)쌍들도 해가 됩니다.