로또에서 15명이 1등일 확률 계산

[질문]

 

이번에 로또 음모론에 편승하여~

 

이번 196회차 로또 1등 당첨자가 15명이더군요.

특이한 번호라 사람들이 관심을 많이 갖나봅니다.

 

 

확률, 통계 배운지가 까마득 해서 전문지식 가진 사람의 도움을 구합니다.

 

로또 1등 당첨 확률은 1/8,145,060입니다.

196회차 로또 판매 장수를 X라 했을 때 다음과 같은 계산을 통해 판매 장수가 22,886,748장이라는 것을 알았습니다.

 

(X*1000 - 5000*937,967) * 0.6 = 727,876,520 * 15

 

: 1등 당첨 금액 총 합은 전체 판매 금액에서 5등 당첨자가 받는 금액을 뺀 금액의 60%

 

언듯 생각해보면 당첨확률 약 800만분의 1을 생각했을 때 당첨자는 2.8명 근처가 나오는 것이 맞는 듯 보이지만 15명 당첨이 적어도 수 퍼센트 안에 들어오는 확률이라면 일어나지 못할 일은 아니라고 봅니다. 과연 22,886,748장이 팔린 로또645에서 15명이 동시 1등 당첨될 확률이 몇이나 되나요?

 

[답변]

 

안녕하세요.

 

로또 1등 당첨자의 수에 대한 것은 이항분포에 따릅니다.

 

이항 분포는 B(N, p) 로 나타낼 수 있고요.  로또를 산 사람을 N, 로또 당첨 확률을 p로 표현하면 됩니다.

이 경우에는 B(22,886,748, 1/8,145,060) 으로 표현할 수 있죠.

 

평균값은 말씀하신대로 Np = 22,886,748 * 1/8,145,060 = 약 2.8명이 나옵니다.

 

이항분포는 p가 0에 가깝거나 N이 p 값에 대해서 무척 큰 경우 포아송 분포로 근사합니다.

15명 이하가 나올 확률을 포아송 분포에 의해서 계산하면,

\[P(X \le 15) = \sum_{k = 0}^{15} e^{-2.8} * 2.8^{k} / k!  = 1.0 \]

이 나옵니다.

 

즉.. 15가 나올 확률은 사실상 없고요.

95% 수준에서 본다면.. 6명까지 나올 수 있고요.

3명 이하로 나올 확률은 약 70% 입니다.

 

실제 15명이 나올 확률은 약 \(10^{-7}\) 정도가 됩니다.  즉 로또에 대한 음모론이 확률적으로 맞습니다.  즉.. 15명이 나올 수 있는 것은.. 백만년에 한번 나올정도라는 것이죠..

13명 이상 나올 확률은 백만분의 1.. 즉.. 이 경우에는 약.. 2만년에 한번 나올 정도..

 

1등 금액을 속였거나, 아니면 실제 1등 당첨자를 만들었다는 음모론이 나올만 하네요.~