소수의 성질을 이용한 문제 (출처 : 수능시험)

[문제]

재미있는 문제였던 것 같은데요. 조건만 잘 맞추면 쉽게 맞출 수 있는 문제입니다.

\(\frac{1}{p} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\) 를 만족하는 자연수 a, b, p가 있다. 이 중 p는 소수이고 b > a 이다.

이럴경우 b-a 를 p의 식으로 표현하면 어떻게 될까요?

 

 

[답]

\(\frac{1}{p} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\) 에서 분모를 모두 없애면,

\(ab = p(a+b)\) 가 된다.

여기서 p는 소수이므로, 위의 식이 성립하기 위해서 a가 p의 배수거나 b가 p의 배수여야 한다.

a, b는 모두 대칭형이므로 두 변수중 하나를 p의 배수로 설정하여도 무방하다.

\(a = pk\) (k >= 1인 자연수) 라고 하면,

\(pkb = p(pk + b)\)

\(kb = pk + b\)

\((k-1)b = pk\)

여기서 k-1, k는 서로 소 관계가 성립한다. k = 1인 경우 0 = p 꼴로 되어서 가정에 위배됨으로 k = 1일 수 없다.

\(b = \frac{pk}{k-1}\) 이 자연수가 되기 위해서는 \(k-1 = p\) 이거나 \(k = 2\)여야 한다.

i) \(k = 2 \rightarrow a = 2p, b = 2p\) (가정에 위배)

ii) \(k = p+1 \rightarrow a = p(p+1), b = p+1\) 이경우 a, b는 대칭형이므로, b > a를 만족하기 위해서

\(a = p+1, b = p(p+1)\)

\(b - a = p(p+1) - (p+1) = p^2 - 1\)

답 : \(p^2 - 1\)