평면 분할

질문)

10개의 직선으로 평면 분할을 하면 몇개 까지 나오나요?

 

답변)

직선이 추가되면 평면 갯수는 추가된 직선에 의해 추가되는 교차점 갯수 + 1로 늘어나겠죠.  추가되는 교차점 갯수는 이미 그려져 있는 직선의 수가 됩니다.  (교차점 하나당 두개의 평면을 가지고 있고 인접한 교차점과 평면을 공유하므로)

   

직선의 수가 0개일때 평면의 갯수는 1이고,

직선의 수가 1개일 때 평면의 갯수는 2가 되죠.  (교차점이 발생하지 않았기때문에 1증가)

직선의 수가 2개일 때 평면의 갯수는 4가 됩니다. (+2 : 교차점 1개 발생)

직선의 수가 3개일 때 평면의 갯수는 7이 되고요. (+3 : 교차점 2개 발생)

   

결국, 초기값 1부터 시작해서 1부터 n까지 합하는 결과가 평면의 갯수가 됩니다.

그래서 총 평면의 수는

 

\[ 1 + \sum_{k=1}^{n} k = 1 + { n(n+1) \over 2 } = { n^2 + n + 2 \over 2} \]

   

그래서 10개의 직선으로 나누어 지는 최대 평면의 갯수는

(10^2 + 10 + 2)/2 = 56개입니다.

   

만약에 이중으로 중첩된 교차점이 r개 있다면 평면의 갯수는 56-r이겠죠.

   

평행한 직선이 존재한다면, 교차점의 수는 팽행한 직선의 수만큼 감소하게 됩니다.  그래서 역시 해당 갯수만큼 숫자가 줄어듭니다.