원주상에서 예각 삼각형 경우의 수

질문)

points A1, A2, ..., AN are equally spaced around the circumference of a circle and N≥3. three of these points are selected at random and a triangle is formed using these points as its points as its vertices.

a) If N=7, what is the probability that the triangle is acute? (A triangle is acute ir each of its three interior andgles is less than 90˚)

b) If N=2k for some positive integer k≥2, determine the probability that the triangle acute.

c) If N=2k for some positive integer k≥2, determine all possible values of k for which the probability that the triangle is acute can ve written in the form a/2007 for some positive integer a.

 

답변)

안녕하세요.

원주상의 점과 지름과 연결하면 그 사잇각은 항상 90도가 되기 때문에요. 세개의 점이 반원안에 없어야 예각 삼각형이 됩니다.

처음에 봤을 때에는 쉬운 문제라고 생각했는데.. 오류를 찾아내서.. 삭제후 다시 씁니다.

원이기 때문에 처음 점은 어느 곳을 잡든지 상관이 없습니다.

 

a) N = 7 일 때,

예각 삼각형이 될 수 있는 조건은, 임의의 점을 잡고 나서, 임의의 점 시계 방향으로 하나씩 다음점으로 잡을 때, 각각 1, 2, 3의 경우의 수가 나옵니다.

1 + 2 + 3 = 6 입니다.

두점을 잡는 경우의 수는 6C2 = 15

답 : 2/5

 

b) N=2k 일 때,

N이 홀수인 경우와 달리 짝수인 경우에는, 실제로 만들 수 있는 예각 삼각형은 하나씩 줄어들게 된다.

임의의 점을 잡고 시계 방향으로 하나씩 다음점으로 잡을 때, 예각 삼각형의 갯수는,

0, 1, 2, .. k-2 개가 나온다.

그래서 예각 삼각형의 경우의 수는 (k-1)(k-2)/2 가 되고,

삼각형의 경우의 수는 (2k-1)C2 = (2k-1)(2k-2)/2 = (2k-1)(k-1) 이 되어,

답 : (k-2)/2(2k-1)

 

c) 분모가 2007이 되기위해서는 진분수로는 힘들다. 왜냐하면,

k-2 와 2k-1 은 서로 3이라는 공통소인수를 가질 수 있기 때문이다.

2k - 1 - 2(k-2) = 3

2007을 가지기 위해서는 다음과 같은 조건을 만족하여야 한다.

k - 2 는 짝수 -> k 는 짝수

2k-1 = 2007 또는 2k-1 = 2007*3

2k-1 = 2007 -> k = 1004

2k-1 = 2007*3 -> k = 3011 k는 짝수라는 조건에 위배..

답: Angel