영화 부러진 화살에서 수학 문제

영화 부러진 화살에서 수학 문제

최근 영화로 흥행을 하면서, 많은 사람들이 관심을 가지고 있죠. 사법부에 대한 비판은 제가 안 해도 많이들 하고 있으니, 저는 처음 문제가 되었던 수학문제에 대해서만 이야기할까 합니다.

대한수학회가 최근에 오류가 있다는 이야기를 했다는데, 공식입장은 아닌 듯 합니다.

(영화) 부러진 화살

성균관대 1995년에 나왔던 문제는 다음과 같습니다.

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영벡터가 아닌 세 공간 벡터 \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\)가 모든 실수 \(x, y, z\)에 대하여

\[ | x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c} | \ge | x \vec{a} | + | y \vec{b} | + | z \vec{c} | \]

를 만족할 때,

\[ \vec{a} \perp \vec{b} \perp \vec{c} \]

임을 증명하라.

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이 문제를 풀기 위해서는 양변을 제곱한 후,

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \)

\( \vec{b} \cdot \vec{c} = 0 \)

\( \vec{c} \cdot \vec{a} = 0 \)

라는 결론을 내려서 증명을 완성하려는 의도인 듯 합니다.

그러나 실수한 것은 바로 이것입니다.

\( | \vec{x} + \vec{y} | \geq | \vec{x} | + |\vec{y} | \)

양변을 제곱하면,

\( | \vec{x}^2 + \vec{y}^2 + 2 \vec{x} \cdot \vec{y} | \geq \vec{x}^2 + \vec{y}^2 + 2|\vec{x}| |\vec{y}| \)

\( | \vec{x}^2 + \vec{y}^2 + 2 | \vec{x} | | \vec{y} | cos \theta | \geq \vec{x}^2 + \vec{y}^2 + 2|\vec{x}| |\vec{y}| \)

\( |\vec{x}| = 0 \) or \( |\vec{y}| = 0\) or \(cos \theta \geq 1 \)

결국 벡터중 하나가 영벡터이거나 끼인각이 0도이어야 합니다.

아마 출제하신 분은 이것을 착각하지 않았을까 합니다.

결국 잘못된 출제라는 것은 명확합니다.

그러나 여기서 이것을 가지고 꼭 싸웠어야 했는가? 물론 교수까지도 실수할 문제를 고등학교 졸업생에게 요구하는 것은 잘못되었을 수도 있습니다만, 이런 것까지 이해하고 문제를 푼 학생은 오히려 부당한 대우를 받겠죠.

출제자는 잘못된 문제를 출제할 수 있습니다. 그런데 문제는 그것을 검증했어야 하는 다른 수학교수들이나 감사의 문제라는 것입니다. 그러한 시스템이 올바르게 갖추어지지 않은 것이 문제가 아닐까 합니다.

이미 사태가 벌어진 이상, 모두 만점처리를 시키는 것보다는 학생들의 답을 보고서 그것에 맞게 답을 고치는 것이 올바른 태도라 생각합니다. 성균관대는 문제 출제에 있어서 검증이 허술했다는 비난을 받을 수는 있지만, 문제 채점에 있어서 새로운 답을 제시하고 그에 따라 채점을 하는 것은 올바르다고 저는 생각합니다.