펠의 방정식(Pellian Equation) - 2

펠의 방정식의 일반해를 구하기 위해서는 좀 복잡한 정수론을 이용해야 합니다.

 

정수론 책을 읽다보면, 이 부분에서 머리가 휘청거리는 것을 느끼게 되죠.  그래서 저는 저 나름대로의 방식으로 풀어볼까 합니다.  (이미 답은 알고 있으니, 그것을 이용합니다.)

 

펠의 방정식 해법은 연분수 전개와 밀접한 연관이 있습니다.

 

펠의 방정식을 풀기 전에 무한 소수를 생각하도록 하죠.

 

만약 1/7 을 소수로 표현한다면 어떻게 될까요?  0.14285714285714.... 로 무한소수를 얻게 됩니다.  그런데, 일정 구간의 숫자가 반복됨을 알 수 있습니다.  142857이란 숫자가 반복됩니다.  이는 나눗셈에서 나머지가 같아지는 부분이 생기는 그 다음부터는 계속 순환이 발생한다는 당연한 이치 때문입니다.

 

이러한 무한소수를 표현하기 위해서 순환고리를 다음과 같이 표현합니다.

 

 

 

순환하는 첫 숫자와 마지막 숫자 위에 점을 찍어서 표현을 합니다.

 

그러면 반대로 순환하는 무한소수가 있다면 어떨까요?  무한소수를 분수로 바꾸기 위해서는요.  순환하는 자릿수만큼 10의 제곱승을 곱해주고 빼주면 무한히 반복하는 소수를 제거할 수가 있습니다.  (엄밀한 증명 등은 무시하도록 할께요.)

 

 

 

 

이와 비슷한 방법으로 펠의 방정식을 풀어보도록 하겠습니다.

 

 

 

과 같이 제곱근 7은 전혀 순환하지 않는 무한소수가 됩니다.  그래서 제곱근 7은 무리수입니다.  그런데 제곱근 7에 대해서 연분수 전개를 하면, 순환하는 무한소수와 같이 표시를 할 수 있습니다.

 

 

 

형태로 1, 1, 1, 4 가 반복되게 됩니다.

 

위의 연분수를 이용하면, 우리는 펠의 방정식에 접근할 수 있습니다.  연분수만을 이용한다면, 위 식을 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

 

 

 

연분수 전개를 해보면, 위 그림과 값이 색칠된 부분은 x와 동일하게 된다는 것을 알 수 있습니다.  그러면, 위의 연분수를 적절하게 고친다면,

 

 

연분수 전개를 다시 역산하면, 음의 x를 제거한다면, 우리가 애시당초 연분수 전개했던 무리수인 

을 얻을 수 있습니다.

 

연분수를 분수로 표시할 때 를 계산한다면,

 

 

을 이용한다면,

 

에 대한 분자 분모를 표시한다면, (0, 1), (1, 0), (0, 1) (1, 1), (1, 2), (2, 3), (9, 14)... 가 되겠죠.  여기서 첫번째 주기까지만 계산한 이유는 단순합니다.  주기가 되어야지 연분수에서 x라는 패턴이 나오니까요.  첫번째 주기까지 계산한 값과 x의 계수를 살펴보면, 주기 바로전의 값이 분모 분자에 나오는 것을 알 수 있습니다.  이것은 연분수 계산에서 당연할겁니다.

 

그러면 펠의 방정식으로 다시 돌아간다면, 우리가 얻고자 한 것은 제곱근 7의 값과 같이 제곱근 d의 값이 필요한 것은 아니었습니다.  

 

연분수의 주기를 e라고 한다면, 연분수 전개에 의해서 얻어지는 식은 다음과 같습니다.

 

 

 

 

위의 식은 당연히 항상 식을 만족합니다.