직각 삼각형 극한 문제

질문)

각 A가 직각인 삼각형 ABC에서 변AB=1 변BC=3일때 변BC를 n+1로 등분하여 각각의 분점을 \( M_1 , M_2 , M_3 , ..., M_n \) 이라고 한다.

이때,

\[ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \overline{AM_{k}}^{2} \]

의 값을 구하면??

 

답변)

풀이를 위한 도형

질문 내용은 위 그림과 같이 표현할 수 있습니다.

M 지점이 BC 길이의 k/(n+1) 이라고 한다면,

BH 길이는 BA 길이의 k/(n+1)이 됩니다. MH 길이는 CA 길이의 k/(n+1)이 되고요. (닮은꼴)

HA 길이는 BA 길이의 (n+1-k)/(n+1)이 됩니다.

MA 길이는 결국 피타고라스 정리에 의해서,

 

\[ \overline{M_k A}^2 = \overline{H_k A}^2 + \overline{H_k M_k}^2 = (\overline{BA}^2 (n+1-k)^2 + \overline{CA}^2 k^2)/(n+1)^2 \]

 

\[ \overline{BA}^2 = 1 \]

\[ \overline{CA}^2 = \overline{BC}^2 - \overline{BA}^2 = 8 \]

\[ \overline{MA_k}^2 = ( (n+1-k)^2 + 8k^2 ) / (n+1)^2 = 1 - 2k/(n+1) + 9k^2/(n+1)^2 \]

이 식에 \(\Sigma\)를 취하면,

\[ n - n(n+1)/(n+1) + 3n(n+1)(2n+1)/2(n+1)^2 = 3n(2n+1)/2(n+1)\]

 

이 됩니다.

 

\( n \rightarrow \infty \) 로 가면, 결국 발산합니다.

 

너무 당연한 이야기인듯..~

등분을 많이 하면, 당연히 AM의 길이는 그만큼 늘어나기 때문에 발산할 수밖에 없죠.

아마 이런 문제면 가능했을듯,

 

\[ \lim_{n \to \infty} 1/n \sum_{k=1}^{n} AM_{k}^{2} \]

이 문제였다면, 답은, 3이겠네요..

 

문제 확인을 해보시길..~