직각 삼각형 극한 문제

질문)

각 A가 직각인 삼각형 ABC에서 변AB=1 변BC=3일때 변BC를 n+1로 등분하여 각각의 분점을 $M_1,M_2,M_3,...,M_n$ 이라고 한다.

이때,

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n{\overline{A{M}_k}}^2$$

의 값을 구하면??

 

답변)

풀이를 위한 도형

질문 내용은 위 그림과 같이 표현할 수 있습니다.

M 지점이 BC 길이의 k/(n+1) 이라고 한다면,

BH 길이는 BA 길이의 k/(n+1)이 됩니다. MH 길이는 CA 길이의 k/(n+1)이 되고요. (닮은꼴)

HA 길이는 BA 길이의 (n+1-k)/(n+1)이 됩니다.

MA 길이는 결국 피타고라스 정리에 의해서,

 

$${\overline{M_{k}A}}^2={\overline{H_{k}A}}^2+{\overline{H_k{M}_k}}^2=({\overline{BA}}^2(n+1-k{)}^2+{\overline{CA}}^2{k}^2)/(n+1{)}^2$$

 

$${\overline{BA}}^2=1$$

$${\overline{CA}}^2={\overline{BC}}^2-{\overline{BA}}^2=8$$

$${\overline{M{A}_k}}^2=((n+1-k{)}^2+8k^2)/(n+1{)}^2=1-2k/(n+1)+9k^2/(n+1{)}^2$$

이 식에 $\mathrm{\Sigma }$를 취하면,

$$n-n(n+1)/(n+1)+3n(n+1)(2n+1)/2(n+1{)}^2=3n(2n+1)/2(n+1)$$

 

이 됩니다.

 

$n\to \mathrm{\infty }$ 로 가면, 결국 발산합니다.

 

너무 당연한 이야기인듯..~

등분을 많이 하면, 당연히 AM의 길이는 그만큼 늘어나기 때문에 발산할 수밖에 없죠.

아마 이런 문제면 가능했을듯,

 

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}1/n\sum _{k=1}^{n}A{M}_k^2$$

이 문제였다면, 답은, 3이겠네요..

 

문제 확인을 해보시길..~