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Bitwise operation I Bitwise operation 일반적으로 프로그램 하는 사람들이 의외로 비트단위(Bitwise)의 연산을 모르는 경우가 많더군요. 실제 테스트 삼아서 몇 가지 문제를 내면, 못 맞추는 경우가 많아서 의아해했습니다. 실무 영역에서는 많이 사용되고 있는데, 실제 그것을 이용해서 프로그램 짜는 경우는 드물어 보입니다. 우리가 부울 변수 x, y를 입력으로 어떤 함수를 작성한다면, 총 16가지의 함수를 만들 수가 있습니다. 이 함수들은 논리 함수(Logical function)라고 이야기를 하며, 교환법칙이 성립하는 경우는 총 8가지가 존재합니다. 이 8가지 중 2가지는 상수 함수이므로, 실제 우리가 사용하는 논리 함수는 6가지 뿐입니다. 상당히 적죠. 이것을 표로 작성하면 다음과 같습니다. x, y 0, 0.. 2011. 9. 21.
수, 거듭제곱, 로그 우리가 일반적으로 실수를 표현하는데에는 여러 가지 방법이 있겠지만, 가장 일반적인 방법은 소수전개(decimal expansion)를 사용하는 것입니다. 그렇지만 이 소수전개에는 일정량의 반올림 오차를 포함할 수 있습니다. 소수전개는 다음과 같이 표현할 수 있습니다. \[ x = n . d_1 d_2 d_3 … \] 여기서 n은 정수이고, 각 \( d_i \)는 0에서 9 사이의 숫자입니다. 물론 이것은 십진법에서 소수 전개입니다. 8진법이라면 0에서 7사이의 숫자이겠죠. 우리가 알고 있는 많은 실수들은 소수전개할 때 무한하게 이어집니다. 유리수의 경우에도 예외가 아닙니다. 일반적으로 컴퓨터에서는 2진법을 사용하고 있는데, 2진법의 경우 10진법의 유한 소수라 해도 무한 소수가 되는 경우가 많습니다. 0.. 2011. 9. 21.
수, 거듭제곱, 로그 1.2.2. 수, 거듭제곱, 로그 우리가 가장 먼저 접하는 수는 자연수(Natural number)란 것일텐데요. 수학이란 학문이 A→B로 가는 연산이 있다면, 항상 B→A 로 가는 방법을 따지죠. 꼭 반대(역)가 필요한 학문이고, 수학자들은 그래서 영원한 반대주의자들의 집단일 수밖에 없나 봅니다. 모 광고에서 모두다 "예"라고 할 때, "아니오"라고 답하는 사람.. 그러다 왕따 당하기 딱 좋죠. 그래서인지, 최근에 우리나라에서 수학은 왕따 당하는 듯 합니다. 그렇지만 다르게 생각한다면, 수학은 해를 구하는 학문이라는 것이죠. A→B 로 가는 연산이 있다면 어떤 경우에 해당 연산 결과가 B가 될 것인가죠. 그렇게 하다보니 그 해가 정말 맞는 것인지, 그리고 오직 그 해만 존재하는지를 따지게 된 것이라고 .. 2011. 9. 21.
귀납법 증명 2011.09.06. 질문) \[ 1 + { 1 \over 2^2} + {1 \over 3^2} + … + {1 \over n^2} \lt 2 – {1 \over n} \] 모든 자연수 \(n\)에 대하여 성립함을 귀납법을 이용하여 보여라. (단 \(n\)은 2 이상) 답변) 귀납법으로 증명할 때에는 첫번째로는 초기 조건이 성립하는지 보여야 합니다. 여기서는 초기 조건이 \(n = 2\)가 되겠죠. 다음으로는 귀납적 작업을 합니다. \(i)\) \(n = 2\)일 때, \[ { 1 + {1 \over 2^2} } = {5 \over 4} \lt { 2 – {1 \over 2} } \] 으로 준 식이 성립한다. \(ii\) \(n=k\)에서 준 식이 성립한다고 하면, \(iii)\) \(n = k+1\)일.. 2011. 9. 20.
Induction II 수학적 귀납법이 증명을 하는데 아주 유용한 도구라는 것은 어느정도 수학을 했던 사람이라면 잘 알고 있는 사실입니다. 실제 수학적 귀납법을 익히는 것은 어렵지 않지만, 많은 분들이 수학 증명이라는 말만 나오면 일단 겁부터 내는 듯합니다. 수학적 귀납법은 패턴이 정해져 있는 증명으로 몇 번 하면 수학에 재능이 없다고 하는 분들도 그다지 어렵지 않게 익힐 수가 있습니다. 물론 수식 계산에 자신이 없다면 어쩔 수 없겠지만요. 옛날 그리스 사람인 니코마소스(Nicomachus)의 정리를 보도록 하겠습니다. 세제곱의 수가 홀수들의 합으로 표시할 수 있다는 것이죠. \[ \begin{align} 1^3 &= 1 \\ 2^3 &= 3+5 \\ 3^3 &= 7+9+11 \\ 4^3 &= 13+15+17+19 \\ ..... 2011. 9. 20.
Induction I 2010.10.17. 논리를 증명하는데 있어서 자주 언급되는 것들로는 연역법과 귀납법이 있습니다. 위키피디아에 의하면 연역법(deductive reasoning)은 이미 알고 있는 사실로부터 새로운 사실을 추론하는 것이다라고 되어 있습니다. 그에 비해서 귀납법(Induction)은 경험적 근거를 바탕으로 한 사실을 말합니다. 연역법은 논리에 있어서 잘못된 추론이 있을 수 없지만, 귀납법은 잘못된 추론이 발생할 수 있습니다. 현대사회에서 귀납법을 이용하여 많은 사실을 이끌어내기는 하지만, 이것이 100% 올바른 답이라고 할 수 없습니다. 사회적 현상에서 특히 논란을 많이 발생시킵니다. 이 책에서는 일반적인 귀납법이 아닌 수학적 귀납법(Mathematical Induction)을 설명합니다. 수학적 귀납법은.. 2011. 9. 19.
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