소수의 성질을 이용한 문제 (출처 : 수능시험)

[문제]

재미있는 문제였던 것 같은데요. 조건만 잘 맞추면 쉽게 맞출 수 있는 문제입니다.

$\frac{1}{p}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ 를 만족하는 자연수 a, b, p가 있다. 이 중 p는 소수이고 b > a 이다.

이럴경우 b-a 를 p의 식으로 표현하면 어떻게 될까요?

 

 

[답]

$\frac{1}{p}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ 에서 분모를 모두 없애면,

$ab=p(a+b)$ 가 된다.

여기서 p는 소수이므로, 위의 식이 성립하기 위해서 a가 p의 배수거나 b가 p의 배수여야 한다.

a, b는 모두 대칭형이므로 두 변수중 하나를 p의 배수로 설정하여도 무방하다.

$a=pk$ (k >= 1인 자연수) 라고 하면,

$pkb=p(pk+b)$

$kb=pk+b$

$(k-1)b=pk$

여기서 k-1, k는 서로 소 관계가 성립한다. k = 1인 경우 0 = p 꼴로 되어서 가정에 위배됨으로 k = 1일 수 없다.

$b=\frac{pk}{k-1}$ 이 자연수가 되기 위해서는 $k-1=p$ 이거나 $k=2$여야 한다.

i) $k=2\to a=2p,b=2p$ (가정에 위배)

ii) $k=p+1\to a=p(p+1),b=p+1$ 이경우 a, b는 대칭형이므로, b > a를 만족하기 위해서

$a=p+1,b=p(p+1)$

$b-a=p(p+1)-(p+1)=p^2-1$

답 : $p^2-1$