귀납법 증명

2011.09.06.

 

질문)

$$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots +\frac{1}{n^2}<2–\frac{1}{n}$$

모든 자연수 $n$에 대하여 성립함을 귀납법을 이용하여 보여라. (단 $n$은 2 이상)

답변)

 

귀납법으로 증명할 때에는 첫번째로는 초기 조건이 성립하는지 보여야 합니다. 여기서는 초기 조건이 $n=2$가 되겠죠. 다음으로는 귀납적 작업을 합니다.

$i)$ $n=2$일 때,

$$1+\frac{1}{2^2}=\frac{5}{4}<2–\frac{1}{2}$$

으로 준 식이 성립한다.

$ii$ $n=k$에서 준 식이 성립한다고 하면,

$iii)$ $n=k+1$일 때,

$$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots +\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1{)}^2}<1–\frac{1}{k}+\frac{1}{(k+1{)}^2}<2–\frac{1}{k}+\frac{1}{k(k+1)}=2–\frac{k}{k(k+1)}=2–\frac{1}{k+1}$$

으로 귀납적으로 성립함을 보일 수 있다.