1000! 가지고 장난치기

[문1]은 제가 만든 문제이고요. [문2]는 옛날 교사임용고사에 나왔던 문제입니다.



[문1]

1000! 을 계산하면 일련의 숫자들이 죽 나열되겠죠. 이 결과값의 모든 자릿수의 합을 계산합니다. 그러면 또 일련의 숫자들이 나옵니다. 또 모든 자릿수의 합을 계산하고요. 이것을 무한 반복하면, 결국 한자리 숫자가 나오게 됩니다. 이 한자리 숫자가 얼마일까요?



[문2]

1000! 을 계산하면 일련의 숫자들이 나옵니다. 그런데 1의 자릿수부터 연속된 0들이 쭉 나오겠죠? 과연 이 연속된 0의 겻수는 얼마일까요?


[답]-----------------------------------------

[문1]은 다음과 같은 수학적 기반으로 풀면 쉽게 풀립니다.

 

1) 어떤 수 a가 9의 배수이면, a의 모든 자릿수를 더한 것도 9의 배수이다.

2) 어떤 수 a의 모든 자릿수의 합은 a보다 작거나 같다.  단 같을 때에는 a가 한자리수일때뿐이다.

 

1)과 2)에 의하면 1000!은 9의 배수이기 때문에 답은 9가 된다.

 

[문2]는 다음과 같은 수학적 기반으로 풀면 쉽게 풀립니다.

 

1) 뒷자리의 연속된 0의 갯수는 10(2x5)으로 얼마큼 나누어 떨어지는가와 같다.

2) n!을 소인수분해하면 2^a x 5^b x m (a, b >= 0)으로 표현할 수 있다.  이때, a >= b이다.

 

그러므로 5라는 소인수를 얼마나 많이 가지고 있는가에 따라서 10으로 얼만큼 나눌 수 있는지가 결정된다.

 

1000!은 5라는 소인수를 다음과 같이 가지고 있다.  [a] 는 가우시안 함수로 a보다 작거나 같은 가장 큰 정수를 나타낸다.

 

[1000/5] + [1000/25] + [1000/125] + .... [1000/5^k] ....

 

그러므로

200 + 40 + 8 + 1 = 249

 

즉.. 1000!은 뒷자리에 249개의 연속된 0을 가지게 된다.