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따블당의 돈봉투 분배 - 문제편 따블당은 일을 마치면 "자 다음은 따블, 따따블로"를 외쳐서 "따블당"이라고 한다. 이 당에서는 업자로부터 돈을 받으면, 정해진 규칙에 의해서 돈봉투를 나누어 주는 그룹이 존재한다. 이 그룹의 서열 1위자가 당대표를 맡게 된다. 그만큼 힘이 있는 그룹이다. 일단 돈봉투에는 무조건 300만원씩(받는 사람들의 1회분 식사비)을 정확하게 넣는다. 남는돈은 서열 1위자인 대표가 챙긴다. 또한 1위 서열자는 자신의 이득을 최대화할 수 있게 분배 의견을 낸다. 그래서 서열이 오르는 것이 매우 중요하다. 그룹내 모든 의원들은 서열이 있으며, 동순위 서열은 존재하지 않는다. 돈봉투에는 반드시 300만원만 들어가 있다. 1. 대표(1위 서열자)가 분배 의견을 낸다. 2. 분배 의견을 낸 것에 대해 따블당의 그룹내 모든 .. 2023. 5. 7.
동전을 n번 던졌을 때, 연속으로 앞면이 나타날 경우의 수는? 이런 경우의 수를 계산하는 것이 쉽지는 않습니다. 어떻게 생각을 해야 하는지가 중요하죠. 동전을 n번 던졌을 때의 경우의 총 수는 \(2^n\)입니다. 연속으로 앞면이 나타날 경우의 수는 총 경우의 수에서 연속으로 앞면이 나타나지 않을 경우의 수를 빼면 됩니다. 그러면 연속으로 앞면이 나타나지 않는 경우의 수를 어떻게 계산할까요? 수열을 만드는 과정을 생각해보죠. 동전의 뒷면을 0으로 앞면을 1로 가정을 해보도록 합니다. 4번 동전을 던진다면, 1이 연속으로 나타나는 경우의 수는 0011, 0110, 0111, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 으로 총 8가지입니다. 컴퓨터로 모든 경우의 수에 대해서 연속 1이 나오는지 카운팅하면 되겠지만, 수학적으로는 어떻게 풀까요? 수열을 만들때, .. 2019. 12. 29.
펠의 방정식(Pell's Equation) - 3 연분수 전개로 당연한 식이지만, 다음과 같은 형식의 식을 만들었습니다.\[ \sqrt{d} = \frac{r+s\sqrt{d}}{p+q\sqrt{d}} \] 첫번째로는 과연 저 형식의 식과 펠의 방정식은 무슨 관계인가입니다.\(d = 7\)일 때, \(p = 1, q = 1, r = 7, s = 1\)라는 것도 저 식을 만족합니다. 왜 하필이면, 복잡한 연분수 계산을 통해서 저 수를 얻어야 하는 것입니다. 그리고 펠의 방정식과 무슨 관계인가입니다. 위 식에서 분모를 유리화하면 다음과 같은 식을 얻습니다.\[ \sqrt{d} = \frac{r + s\sqrt{d}}{p + q\sqrt{d}} = \frac{pr - dq s + (ps - qr)\sqrt{d}}{p^2 - dq^2} \] 분모를 유리화하면 .. 2015. 5. 23.
펠의 방정식(Pellian Equation) - 2 펠의 방정식의 일반해를 구하기 위해서는 좀 복잡한 정수론을 이용해야 합니다. 정수론 책을 읽다보면, 이 부분에서 머리가 휘청거리는 것을 느끼게 되죠. 그래서 저는 저 나름대로의 방식으로 풀어볼까 합니다. (이미 답은 알고 있으니, 그것을 이용합니다.) 펠의 방정식 해법은 연분수 전개와 밀접한 연관이 있습니다. 펠의 방정식을 풀기 전에 무한 소수를 생각하도록 하죠. 만약 1/7 을 소수로 표현한다면 어떻게 될까요? 0.14285714285714.... 로 무한소수를 얻게 됩니다. 그런데, 일정 구간의 숫자가 반복됨을 알 수 있습니다. 142857이란 숫자가 반복됩니다. 이는 나눗셈에서 나머지가 같아지는 부분이 생기는 그 다음부터는 계속 순환이 발생한다는 당연한 이치 때문입니다. 이러한 무한소수를 표현하기 .. 2015. 5. 23.
펠의 방정식(Pellian equatiom) - 1 정수론에서 제곱식에 대한 부정방정식이 많이 나오는데, 이것을 일반화한 방정식이 펠의 방정식입니다. 펠의 방정식은 다음과 같이 표시할 수 있습니다. 위와 같은 부정방정식은 영국의 수학자인 John Pell (1 March 1611 – 12 December 1685)의 이름을 따서 붙여졌지만, 사실 그 이유에 대해서는 자세하게 알려진 바가 없습니다. (여러가지 이야기가 있기는 하지만요.) 디오판투스 방정식의 일부 형태이고요. 프랑스 수학자 페르마에 의해서 오히려 더 먼저 소개되었다고 합니다. 이에 대한 해는 영국의 수학자 윌리엄 브롱커가 처음 발견했고, 이에 대한 증명은 라그랑쥬에 의해서 증명되었습니다. 오일러가 브롱커와 펠을 혼동해서 그의 저서에 펠의 방정식이라고 한 것이 위 방정식이 펠의 방정식이라고 이.. 2015. 5. 21.
로또 랜덤 번호로 찍는다면? 모 사이트에 가보니, 로또를 랜덤으로 살거면 사지말라고 광고를 내걸었던데요. 로또라는 것이 말 그대로 확률 게임입니다. 어떤 사람은 로또의 번호의 합이 106에서 170 사이로 고르라고 충고합니다. 그리고 남들이 잘 안 고르는 번호를 선택하라고 합니다. (앞의 말은 사기성이 농후하지만, 뒤의 말은 그래도 일리가 있습니다.) 그런데 이런 것들이 다 부질 없습니다. 로또는 말 그대로 드러내지 않는 세금일 뿐입니다. 한장을 사면 고스란히 절반 정도의 돈을 국가에 바치는 시스템이죠. 복권 광고 많이 보게 되는데, 저런식으로 국민들을 우롱하는구나 하는 생각이 많이 듭니다. 로또의 합은 21부터 255로 총 235가지나 됩니다. 그래서 로또 전문가들은 숫자 범위를 주고 (예를 들어서 106~170 사이가 되도록) .. 2014. 12. 9.
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