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Mathematics26

동전을 n번 던졌을 때, 연속으로 앞면이 나타날 경우의 수는? 이런 경우의 수를 계산하는 것이 쉽지는 않습니다. 어떻게 생각을 해야 하는지가 중요하죠. 동전을 n번 던졌을 때의 경우의 총 수는 \(2^n\)입니다. 연속으로 앞면이 나타날 경우의 수는 총 경우의 수에서 연속으로 앞면이 나타나지 않을 경우의 수를 빼면 됩니다. 그러면 연속으로 앞면이 나타나지 않는 경우의 수를 어떻게 계산할까요? 수열을 만드는 과정을 생각해보죠. 동전의 뒷면을 0으로 앞면을 1로 가정을 해보도록 합니다. 4번 동전을 던진다면, 1이 연속으로 나타나는 경우의 수는 0011, 0110, 0111, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 으로 총 8가지입니다. 컴퓨터로 모든 경우의 수에 대해서 연속 1이 나오는지 카운팅하면 되겠지만, 수학적으로는 어떻게 풀까요? 수열을 만들때, .. 2019. 12. 29.
펠의 방정식(Pell's Equation) - 3 연분수 전개로 당연한 식이지만, 다음과 같은 형식의 식을 만들었습니다. \[ \sqrt{d} = \frac{r+s\sqrt{d}}{p+q\sqrt{d}} \] 첫번째로는 과연 저 형식의 식과 펠의 방정식은 무슨 관계인 가입니다. d = 7일 때, p = 1, q = 1, r = 7, s = 1라는 것도 저 식을 만족합니다. 왜 하필이면, 복잡한 연분수 계산을 통해서 저 수를 얻어야 하는 것입니다. 그리고 펠의 방정식과 무슨 관계인 가 입니다. 위 식에서 분모를 유리화하면 다음과 같은 식을 얻습니다. 분모를 유리화하면 분모는 정수가 됩니다. 좌변과 우변이 같게 되기 위해서는 분자는 제곱근만 남는 것이 마땅합니다. ps-qr = 1이 된다면, 분모도 1이 되어야 합니다. 즉, ps-qr이 1이 된다면, 분모.. 2015. 5. 23.
펠의 방정식(Pellian Equation) - 2 펠의 방정식의 일반해를 구하기 위해서는 좀 복잡한 정수론을 이용해야 합니다. 정수론 책을 읽다보면, 이 부분에서 머리가 휘청거리는 것을 느끼게 되죠. 그래서 저는 저 나름대로의 방식으로 풀어볼까 합니다. (이미 답은 알고 있으니, 그것을 이용합니다.) 펠의 방정식 해법은 연분수 전개와 밀접한 연관이 있습니다. 펠의 방정식을 풀기 전에 무한 소수를 생각하도록 하죠. 만약 1/7 을 소수로 표현한다면 어떻게 될까요? 0.14285714285714.... 로 무한소수를 얻게 됩니다. 그런데, 일정 구간의 숫자가 반복됨을 알 수 있습니다. 142857이란 숫자가 반복됩니다. 이는 나눗셈에서 나머지가 같아지는 부분이 생기는 그 다음부터는 계속 순환이 발생한다는 당연한 이치 때문입니다. 이러한 무한소수를 표현하기 .. 2015. 5. 23.
펠의 방정식(Pellian equatiom) - 1 정수론에서 제곱식에 대한 부정방정식이 많이 나오는데, 이것을 일반화한 방정식이 펠의 방정식입니다. 펠의 방정식은 다음과 같이 표시할 수 있습니다. 위와 같은 부정방정식은 영국의 수학자인 John Pell (1 March 1611 – 12 December 1685)의 이름을 따서 붙여졌지만, 사실 그 이유에 대해서는 자세하게 알려진 바가 없습니다. (여러가지 이야기가 있기는 하지만요.) 디오판투스 방정식의 일부 형태이고요. 프랑스 수학자 페르마에 의해서 오히려 더 먼저 소개되었다고 합니다. 이에 대한 해는 영국의 수학자 윌리엄 브롱커가 처음 발견했고, 이에 대한 증명은 라그랑쥬에 의해서 증명되었습니다. 오일러가 브롱커와 펠을 혼동해서 그의 저서에 펠의 방정식이라고 한 것이 위 방정식이 펠의 방정식이라고 이.. 2015. 5. 21.
로또 랜덤 번호로 찍는다면? 모 사이트에 가보니, 로또를 랜덤으로 살거면 사지말라고 광고를 내걸었던데요. 로또라는 것이 말 그대로 확률 게임입니다. 어떤 사람은 로또의 번호의 합이 106에서 170 사이로 고르라고 충고합니다. 그리고 남들이 잘 안 고르는 번호를 선택하라고 합니다. (앞의 말은 사기성이 농후하지만, 뒤의 말은 그래도 일리가 있습니다.) 그런데 이런 것들이 다 부질 없습니다. 로또는 말 그대로 드러내지 않는 세금일 뿐입니다. 한장을 사면 고스란히 절반 정도의 돈을 국가에 바치는 시스템이죠. 복권 광고 많이 보게 되는데, 저런식으로 국민들을 우롱하는구나 하는 생각이 많이 듭니다. 로또의 합은 21부터 255로 총 235가지나 됩니다. 그래서 로또 전문가들은 숫자 범위를 주고 (예를 들어서 106~170 사이가 되도록) .. 2014. 12. 9.
이상한 기대치 일반적으로 도박은 마약보다 더 중독성이 강하다고 하는데,도박은 마치 돈을 딸 수 있을 것 같은 심리가 있습니다. 그런데 재미있는 발상이 하나 있습니다. 여기에 승률이 50%짜리 도박기계가 있습니다. 도박기계에서 승률 50%이라 함은, 내가 1000원을 내고 한번 했을 때, 내가 받을 수 있는 기대치가 500원이라는 이야기입니다. 즉 매 판마다 해당 기계가 500원을 가져가는 셈이 되죠. 일반적인 카지노의 슬롯머신은 승률이 85%에서 90% 초반대로 맞추어져 있습니다. 결국 무한정으로 도박을 하면, 자신이 가진 돈은 0으로 수렴하는 구조입니다. 그런데말입니다. 만약 50% 짜리 도박기계에 내가 이런 알고리즘을 적용했다고 해보죠. 1/4 확률로 건 돈의 두배를 주고, 3/4 확률로 건 돈을 잃어버리는 기계를.. 2014. 9. 23.
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