반응형 Mathematics26 직각 삼각형 극한 문제 질문) 각 A가 직각인 삼각형 ABC에서 변AB=1 변BC=3일때 변BC를 n+1로 등분하여 각각의 분점을 \( M_1 , M_2 , M_3 , ..., M_n \) 이라고 한다. 이때, \[ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \overline{AM_{k}}^{2} \] 의 값을 구하면?? 답변) 질문 내용은 위 그림과 같이 표현할 수 있습니다. M 지점이 BC 길이의 k/(n+1) 이라고 한다면, BH 길이는 BA 길이의 k/(n+1)이 됩니다. MH 길이는 CA 길이의 k/(n+1)이 되고요. (닮은꼴) HA 길이는 BA 길이의 (n+1-k)/(n+1)이 됩니다. MA 길이는 결국 피타고라스 정리에 의해서, \[ \overline{M_k A}^2 = \overline{H_.. 2011. 9. 25. 원주상에서 예각 삼각형 경우의 수 질문) points A1, A2, ..., AN are equally spaced around the circumference of a circle and N≥3. three of these points are selected at random and a triangle is formed using these points as its points as its vertices. a) If N=7, what is the probability that the triangle is acute? (A triangle is acute ir each of its three interior andgles is less than 90˚) b) If N=2k for some positive integer k≥2, dete.. 2011. 9. 25. 평면 분할 질문) 10개의 직선으로 평면 분할을 하면 몇개 까지 나오나요? 답변) 직선이 추가되면 평면 갯수는 추가된 직선에 의해 추가되는 교차점 갯수 + 1로 늘어나겠죠. 추가되는 교차점 갯수는 이미 그려져 있는 직선의 수가 됩니다. (교차점 하나당 두개의 평면을 가지고 있고 인접한 교차점과 평면을 공유하므로) 직선의 수가 0개일때 평면의 갯수는 1이고, 직선의 수가 1개일 때 평면의 갯수는 2가 되죠. (교차점이 발생하지 않았기때문에 1증가) 직선의 수가 2개일 때 평면의 갯수는 4가 됩니다. (+2 : 교차점 1개 발생) 직선의 수가 3개일 때 평면의 갯수는 7이 되고요. (+3 : 교차점 2개 발생) 결국, 초기값 1부터 시작해서 1부터 n까지 합하는 결과가 평면의 갯수가 됩니다. 그래서 총 평면의 수는 \.. 2011. 9. 21. 귀납법 증명 2011.09.06. 질문) \[ 1 + { 1 \over 2^2} + {1 \over 3^2} + … + {1 \over n^2} \lt 2 – {1 \over n} \] 모든 자연수 \(n\)에 대하여 성립함을 귀납법을 이용하여 보여라. (단 \(n\)은 2 이상) 답변) 귀납법으로 증명할 때에는 첫번째로는 초기 조건이 성립하는지 보여야 합니다. 여기서는 초기 조건이 \(n = 2\)가 되겠죠. 다음으로는 귀납적 작업을 합니다. \(i)\) \(n = 2\)일 때, \[ { 1 + {1 \over 2^2} } = {5 \over 4} \lt { 2 – {1 \over 2} } \] 으로 준 식이 성립한다. \(ii\) \(n=k\)에서 준 식이 성립한다고 하면, \(iii)\) \(n = k+1\)일.. 2011. 9. 20. 1000! 가지고 장난치기 [문1]은 제가 만든 문제이고요. [문2]는 옛날 교사임용고사에 나왔던 문제입니다. [문1] 1000! 을 계산하면 일련의 숫자들이 죽 나열되겠죠. 이 결과값의 모든 자릿수의 합을 계산합니다. 그러면 또 일련의 숫자들이 나옵니다. 또 모든 자릿수의 합을 계산하고요. 이것을 무한 반복하면, 결국 한자리 숫자가 나오게 됩니다. 이 한자리 숫자가 얼마일까요? [문2] 1000! 을 계산하면 일련의 숫자들이 나옵니다. 그런데 1의 자릿수부터 연속된 0들이 쭉 나오겠죠? 과연 이 연속된 0의 겻수는 얼마일까요? [답]----------------------------------------- [문1]은 다음과 같은 수학적 기반으로 풀면 쉽게 풀립니다. 1) 어떤 수 a가 9의 배수이면, a의 모든 자릿수를 더한 것.. 2011. 9. 16. 11개의 정수 중 6개의 수를 선택하여 6의 배수 만들기 (출처 : KMO) [질문] KMO 17회 2차 (2003년) 중등부 4번 문제입니다. http://www.kms.or.kr/home/kmo/ 4. 임의의 정수 11개가 주어지면, 그 중 6개를 뽑아 그 합이 6의 배수가 되게 할 수 있음을 보여라. 단, 주어진 11 개의 정수가 모두 서로 다를 필요는 없다. [답] 임의의 정수 11개를 홀수는 홀수끼리 짝수는 짝수끼리 짝을 맺는다. 이렇게 하면 합이 짝수인 쌍이 5개가 생긴다. 5개 미만으로는 생길 수 없다. 짝수인 쌍은 2n+0, 2n+2, 2n+4 로 표시할 수 있다. 가장 많은 종류의 쌍이 3개 이상이 있다면, 그 종류의 쌍 3개를 선택해서 더하면 6의 배수가 된다. 가장 많은 종류의 쌍이 3개 미만이 있다면, 모든 종류의 쌍이 존재한다. 그러므로 각각의 종류의 쌍을.. 2011. 9. 16. 이전 1 2 3 4 5 다음 728x90
