Mathematics32 펠의 방정식(Pell's Equation) - 3 연분수 전개로 당연한 식이지만, 다음과 같은 형식의 식을 만들었습니다.\[ \sqrt{d} = \frac{r+s\sqrt{d}}{p+q\sqrt{d}} \] 첫번째로는 과연 저 형식의 식과 펠의 방정식은 무슨 관계인가입니다.\(d = 7\)일 때, \(p = 1, q = 1, r = 7, s = 1\)라는 것도 저 식을 만족합니다. 왜 하필이면, 복잡한 연분수 계산을 통해서 저 수를 얻어야 하는 것입니다. 그리고 펠의 방정식과 무슨 관계인가입니다. 위 식에서 분모를 유리화하면 다음과 같은 식을 얻습니다.\[ \sqrt{d} = \frac{r + s\sqrt{d}}{p + q\sqrt{d}} = \frac{pr - dq s + (ps - qr)\sqrt{d}}{p^2 - dq^2} \] 분모를 유리화하면 .. 2015. 5. 23. 펠의 방정식(Pellian Equation) - 2 펠의 방정식의 일반해를 구하기 위해서는 좀 복잡한 정수론을 이용해야 합니다. 정수론 책을 읽다보면, 이 부분에서 머리가 휘청거리는 것을 느끼게 되죠. 그래서 저는 저 나름대로의 방식으로 풀어볼까 합니다. (이미 답은 알고 있으니, 그것을 이용합니다.) 펠의 방정식 해법은 연분수 전개와 밀접한 연관이 있습니다. 펠의 방정식을 풀기 전에 무한 소수를 생각하도록 하죠. 만약 1/7 을 소수로 표현한다면 어떻게 될까요? 0.14285714285714.... 로 무한소수를 얻게 됩니다. 그런데, 일정 구간의 숫자가 반복됨을 알 수 있습니다. 142857이란 숫자가 반복됩니다. 이는 나눗셈에서 나머지가 같아지는 부분이 생기는 그 다음부터는 계속 순환이 발생한다는 당연한 이치 때문입니다. 이러한 무한소수를 표현하기 .. 2015. 5. 23. 펠의 방정식(Pellian equatiom) - 1 정수론에서 제곱식에 대한 부정방정식이 많이 나오는데, 이것을 일반화한 방정식이 펠의 방정식입니다. 펠의 방정식은 다음과 같이 표시할 수 있습니다. 위와 같은 부정방정식은 영국의 수학자인 John Pell (1 March 1611 – 12 December 1685)의 이름을 따서 붙여졌지만, 사실 그 이유에 대해서는 자세하게 알려진 바가 없습니다. (여러가지 이야기가 있기는 하지만요.) 디오판투스 방정식의 일부 형태이고요. 프랑스 수학자 페르마에 의해서 오히려 더 먼저 소개되었다고 합니다. 이에 대한 해는 영국의 수학자 윌리엄 브롱커가 처음 발견했고, 이에 대한 증명은 라그랑쥬에 의해서 증명되었습니다. 오일러가 브롱커와 펠을 혼동해서 그의 저서에 펠의 방정식이라고 한 것이 위 방정식이 펠의 방정식이라고 이.. 2015. 5. 21. 로또 랜덤 번호로 찍는다면? 모 사이트에 가보니, 로또를 랜덤으로 살거면 사지말라고 광고를 내걸었던데요. 로또라는 것이 말 그대로 확률 게임입니다. 어떤 사람은 로또의 번호의 합이 106에서 170 사이로 고르라고 충고합니다. 그리고 남들이 잘 안 고르는 번호를 선택하라고 합니다. (앞의 말은 사기성이 농후하지만, 뒤의 말은 그래도 일리가 있습니다.) 그런데 이런 것들이 다 부질 없습니다. 로또는 말 그대로 드러내지 않는 세금일 뿐입니다. 한장을 사면 고스란히 절반 정도의 돈을 국가에 바치는 시스템이죠. 복권 광고 많이 보게 되는데, 저런식으로 국민들을 우롱하는구나 하는 생각이 많이 듭니다. 로또의 합은 21부터 255로 총 235가지나 됩니다. 그래서 로또 전문가들은 숫자 범위를 주고 (예를 들어서 106~170 사이가 되도록) .. 2014. 12. 9. 이상한 기대치 일반적으로 도박은 마약보다 더 중독성이 강하다고 하는데,도박은 마치 돈을 딸 수 있을 것 같은 심리가 있습니다. 그런데 재미있는 발상이 하나 있습니다. 여기에 승률이 50%짜리 도박기계가 있습니다. 도박기계에서 승률 50%이라 함은, 내가 1000원을 내고 한번 했을 때, 내가 받을 수 있는 기대치가 500원이라는 이야기입니다. 즉 매 판마다 해당 기계가 500원을 가져가는 셈이 되죠. 일반적인 카지노의 슬롯머신은 승률이 85%에서 90% 초반대로 맞추어져 있습니다. 결국 무한정으로 도박을 하면, 자신이 가진 돈은 0으로 수렴하는 구조입니다. 그런데말입니다. 만약 50% 짜리 도박기계에 내가 이런 알고리즘을 적용했다고 해보죠. 1/4 확률로 건 돈의 두배를 주고, 3/4 확률로 건 돈을 잃어버리는 기계를.. 2014. 9. 23. \(tan \theta = \frac{\sqrt{5}}{5} \) 일 때, \( cos 2 \theta \)의 값은? 2. \(tan \theta = \frac{\sqrt{5}}{5} \) 일 때, \( cos 2 \theta \)의 값은? \[ cos 2 \theta = cos^2 \theta - sin^2 \theta = 2cos^2 \theta - 1\] \[ tan^2 \theta = \frac{sin^2 \theta}{cos^2 \theta} = \frac{1-cos^2 \theta}{cos^2 \theta} \] \[ cos^2 \theta = \frac{ 1 }{1+tan^2 \theta} = \frac{5}{6} \] \[ \therefore cos 2 \theta = \frac{2}{3} \] 2013. 11. 26. 이전 1 2 3 4 5 6 다음 728x90
